حل تمرین های ترکیبی فصل 4 ریاضی هفتم

در این شکل، با فرض اینکه مثلث بزرگ ABC یک مثلث قائم‌الزاویه در رأس A باشد ($\angle BAC = ۹۰^\circ$) و AH ارتفاع وارد بر وتر باشد، می‌توانیم روابط بین زاویه‌ها را بررسی کنیم. به نظر می‌رسد در متن سؤال اشتباه تایپی وجود دارد، زیرا در این حالت **$\hat{B} = \hat{A}_۱$** و **$\hat{C} = \hat{A}_۲$** خواهد بود. اثبات رابطه صحیح **$\hat{B} = \hat{A}_۱$** به شرح زیر است: ۱. در هر مثلث قائم‌الزاویه، مجموع دو زاویه تند برابر $۹۰$ درجه است. در مثلث قائم‌الزاویه کوچک **AHB** داریم: $$\hat{B} + \hat{A}_۲ = ۹۰^\circ$$ ۲. همچنین، زاویه A در مثلث بزرگ، یک زاویه قائمه است و به دو بخش تقسیم شده است: $$\hat{A}_۱ + \hat{A}_۲ = ۹۰^\circ$$ ۳. **نتیجه‌گیری:** با مقایسه دو رابطه بالا، مشاهده می‌کنیم که هر دو زاویه $\hat{B}$ و $\hat{A}_۱$ **متمم** زاویه $\hat{A}_۲$ هستند (یعنی با $\hat{A}_۲$ جمع شده و حاصل $۹۰^\circ$ می‌شود). طبق این اصل که «متمم‌های یک زاویه با هم برابرند»، نتیجه می‌گیریم که: $$\hat{B} = \hat{A}_۱$$

برای انجام این تبدیل‌های هندسی، مراحل زیر را به ترتیب دنبال می‌کنیم: **مرحله ۱: تقارن محوری (بازتاب)** - ابتدا مثلث $ABC$ را نسبت به خط $BC$ قرینه می‌کنیم. نقاط B و C که روی محور تقارن هستند، ثابت می‌مانند. نقطه A به نقطه‌ای جدید مانند $A'$ در طرف دیگر خط منتقل می‌شود، به طوری که فاصله $A'$ تا خط BC برابر با فاصله A تا خط BC است. مثلث جدید $A'BC$ حاصل می‌شود. **مرحله ۲: دوران** - سپس مثلث جدید ($A'BC$) را حول نقطه C به اندازه $۹۰$ درجه در جهت عقربه‌های ساعت دوران می‌دهیم. نقطه C که مرکز دوران است، ثابت می‌ماند. مثلث نهایی را $A''B''C$ می‌نامیم. - ضلع $CB$ که روی خط افقی بود، پس از دوران روی خط عمودی قرار می‌گیرد. - ضلع $CA'$ که روی خط عمودی بود، پس از دوران روی خط افقی قرار می‌گیرد. **مرحله ۳: مشخص کردن اجزای متناظر** تبدیل‌های تقارن و دوران، اندازه و شکل را تغییر نمی‌دهند. بنابراین، مثلث اولیه ($ABC$) با مثلث نهایی ($A''B''C$) **هم‌نهشت** است ($ riangle ABC \cong riangle A''B''C$). اجزای متناظر (برابر) آنها عبارتند از: - **ضلع‌های متناظر:** - $\overline{AB} = \overline{A''B''}$ - $\overline{BC} = \overline{B''C}$ - $\overline{AC} = \overline{A''C}$ - **زاویه‌های متناظر:** - $\hat{A} = \hat{A}''$ - $\hat{B} = \hat{B}''$ - $\hat{C} = \hat{C}$ (هر دو $۹۰^\circ$ هستند)